【三角函数基本公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。为了便于理解和记忆，以下是对三角函数基本公式的总结，并以表格形式进行归纳。
一、基本定义
三角函数通常基于直角三角形或单位圆来定义。常见的六种三角函数为：
- 正弦（sin）
- 余弦（cos）
- 正切（tan）
- 余切（cot）
- 正割（sec）
- 余割（csc）
其定义如下（设θ为一个角）：
| 函数名称 | 定义式 |
| sinθ | 对边 / 斜边 |
| cosθ | 邻边 / 斜边 |
| tanθ | 对边 / 邻边 |
| cotθ | 邻边 / 对边 |
| secθ | 斜边 / 邻边 |
| cscθ | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
三角函数之间存在一些基本的恒等关系，这些恒等式在解题过程中非常有用。
| 恒等式名称 | 公式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ, cosθ = 1/secθ, tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度变换）
诱导公式用于将任意角的三角函数转换为锐角的三角函数，适用于不同象限的角度计算。
| 角度变化 | 公式 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ, tan(-θ) = -tanθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ, tan(π - θ) = -tanθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ, tan(π + θ) = tanθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ, tan(π/2 - θ) = cotθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式 |
| sin(A ± B) | sinA cosB ± cosA sinB |
| cos(A ± B) | cosA cosB ∓ sinA sinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角与半角公式
这些公式可用于简化复杂的三角表达式。
| 公式名称 | 公式 |
| sin2θ | 2sinθ cosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | (1 - cosθ)/sinθ 或 sinθ/(1 + cosθ) |
六、积化和差与和差化积公式
这些公式常用于三角函数的乘积与和的相互转换。
| 公式类型 | 公式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2 cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2 sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)]/2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
总结
三角函数的基本公式是学习和应用三角学的基础，掌握这些公式有助于提高解题效率和理解能力。通过表格形式的整理，可以更清晰地看到各公式的对应关系和使用场景。建议结合实际题目进行练习，以加深对公式的理解和运用。