【等差数列an的公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差是一个固定值，称为公差。等差数列广泛应用于数学、物理、工程等领域，掌握其通项公式和求和公式是学习数列的基础。
一、等差数列的基本概念
等差数列（Arithmetic Sequence）是指从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差称为公差，通常用字母 $ d $ 表示。首项通常用 $ a_1 $ 表示，第 $ n $ 项则表示为 $ a_n $。
例如：
数列 $ 2, 5, 8, 11, 14, \ldots $ 是一个等差数列，其中首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $。
二、等差数列的通项公式
等差数列的第 $ n $ 项（即 $ a_n $）可以用以下公式计算：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项的值
- $ a_1 $：首项
- $ d $：公差
- $ n $：项数
这个公式可以帮助我们快速找到数列中的任意一项。
三、等差数列的求和公式
等差数列的前 $ n $ 项之和（记作 $ S_n $）可以用以下公式计算：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或者也可以写成：
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
这两个公式都可以用来计算等差数列前 $ n $ 项的总和。
四、总结表格
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第 $ n $ 项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 计算等差数列的第 $ n $ 项 |
| 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 计算等差数列前 $ n $ 项的总和 |
| 前 $ n $ 项和公式（另一种形式） | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 当已知首项和公差时使用 |
五、应用举例
假设有一个等差数列，首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 4 $，求：
1. 第 10 项是多少？
$$
a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4 = 3 + 36 = 39
$$
2. 前 10 项的和是多少？
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5 \times 42 = 210
$$
通过以上内容，我们可以清晰地了解等差数列的通项公式和求和公式，并能灵活运用这些公式解决实际问题。掌握这些基础公式是进一步学习数列与级数的重要一步。